PORTAFOLIO DE PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA: ENERO

CLASE N° 4

FECHA: 04-01-2017

MEDIA Y VARIANZA PARA VARIABLES ALEATORIAS CONTINUAS

Sean: v.a.c

f(x): función de densidad de probabilidad

Entonces:

Sea X una variable aleatoria continua con función de densidad de probabilidad f(x).

Entonces

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EJEMPLO

Se perfora un hueco en un componente de una hoja de metal y después se inserta un eje a través

del hueco. La holgura del eje es igual a la diferencia entre el radio del hueco y el radio del eje. Sea X la variable aleatoria que denota a la holgura, en milímetros. La función de densidad de probabilidad de X es

La media de la holgura está dada por:

Una vez que se ha calculado μX =0.4167, ahora se puede calcular σ2X:

Otro EJEMPLO

DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDAD DISCRETA

1.- DISTRIBUCIÓN UNIFORME

Sean x: v.a.d

Ejemplo.

Un experimento consiste en lanzar un dado y observar el resultado. Si X es la variable aleatoria correspondiente a los seis resultados posibles, encuentre su distribución de probabilidad.

Respuesta

Cada resultado tiene igual probabilidad, por lo tanto la distribución de probabilidad de X es discreta uniforme:

GRÁFICO

El gráfico de la distribución discreta uniforme tiene forma regular.

La Esperanza:

E(x) = 21/6

La Varianza

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EJEMPLO

DISTRIBUCIÓN DE BERNOULLI

Es un experimento estadístico en el que pueden haber únicamente dos resultados posibles. Es costumbre designarlos como “éxito” y “fracaso” aunque pueden tener otra representación y estar asociados a algún otro significado de interés.

Si la probabilidad de obtener “éxito” en cada ensayo es un valor que lo representamos con p, entonces, la probabilidad de obtener “fracaso” será el complemento q = 1 – p.

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EJEMPLO

DISTRIBUCIÓN BINOMIAL

Esta distribución es muy importante y de uso frecuente. Corresponde a experimentos con características similares a un experimento de Bernoulli, pero ahora es de interés la variable aleatoria relacionada con la cantidad de “éxitos” que se obtienen en el experimento.

Características de un Experimento Binomial

a) La cantidad de ensayos n, que se realizan es finita.

b) Cada ensayo tiene únicamente dos resultados posibles: “éxito” o “fracaso”

c) Todos los ensayos realizados son independientes

d) La probabilidad p, de obtener “éxito” en cada ensayo permanece constante.

MEDIA Y VARIANZA

Ejemplo.

Se realizan 8 lanzamientos de un dado. Calcule la probabilidad de obtener 4 veces el número 5.

Respuesta. Este experimento tiene las características de un experimento binomial con:

n = 8: Cantidad de ensayos realizados (se suponen independientes)

p = 1/6 Probabilidad que cada ensayo sea “éxito” (se obtiene el 5)

X: Variable aleatoria discreta (cantidad de veces que sale el 5)

x = 0, 1, 2, ..., 8 Valores que puede tomar X

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EJEMPLO

Referencia: Luis Rodriguez. (2007). Probabilidad y estadística básica para ingenieros. Quito: ESPOL.

CLASE N° 5

FECHA: 06-01-2017

Ejemplo

Una fábrica tiene una norma de control de calidad consistente en elegir al azar diariamente 20 artículos producidos y determinar el número de unidades defectuosas. Si hay dos o más artículos defectuosos la fabricación se detiene para inspección de los equipos. Se conoce por experiencia que la probabilidad de que un artículo producido sea defectuoso es 5%.

Encuentre la probabilidad de que en cualquier día la producción se detenga al aplicar esta norma de control de calidad.

Respuesta

Esta situación corresponde a un experimento binomial

n = 20 Cantidad de ensayos (independientes)

p = 0.05 Probabilidad de éxito (constante)

X: Variable aleatoria discreta (cantidad de artículos defectuosos)

x = 0, 1, ..., 20 Valores que puede tomar X

La probabilidad de que un disco compacto dure al menos un año sin que falle es de 0.95. Calcule la probabilidad de que en una muestra de 15 discos elegidos al azar

a) 12 duren menos de un año

b) a lo más 5 duren menos de un año

c) al menos 2 duren menos de un año

d) obtenga la media y la varianza de los discos compactos.

x= número de discos que duran menos de un año

n=15

p= 0.05

q=0.95

d) E(x)= np

E(x)= 0.75

V(x)=np

V(x)=0.7125

Referencia: Luis Rodriguez. (2007). Probabilidad y estadística básica para ingenieros. Quito: ESPOL.

CLASE N° 6

FECHA: 11-01-2017

DISTRIBUCIÓN DE POISSON

x= v.a.d que toma un número infinito de valores

Esta distribución se aplica para analizar eventos que se realizan en el tiempo o en el espacio, tales como:

Números de accidentes
Número de llamadas telefónicas de una central
Número de personas infectadas
Número de bacterias en un placa
Números de goles de un equipo en un partido

MEDIA Y VARIANZA

APROXIMACIÓN DE LA DISTRIBUCIÓN BINOMIAL CON LA DISTRIBUCIÓN DE POISSON

En la Distribución Binomial cuando n es grande no es práctico el uso de la fórmula. Para entender esto, suponga que n=100, p=0.05 y se quiere calcular la probabilidad que la variable aleatoria X tome el valor 4:

COMO MUCHAS APLICACIONES DEPENDEN DEL TIEMPO SE PUEDE TRANSFORMAR EN :

EJEMPLO 1

EJEMPLO 2

EJEMPLO 3

EJEMPLO 4

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Referencia: Luis Rodriguez. (2007). Probabilidad y estadística básica para ingenieros. Quito: ESPOL.

CLASE N° 7

FECHA: 13-01-2017

DISTRIBUCIÓN HIPERGEOMÉTRICA

Consiste en experimentos de muetreo sin reemplazo de un conjunto finito el cual contiene algunos elementos considerados ÉXITOS y los restantes FRACASOS.

EJEMPLOS

De 50 edificios en un parque industrial 12 no cumplen el código eléctrico. Si se selecciona aleatoriamente 10 edificios para inspeccionarlos. ¿ Cuál es la probabilidad de que exactamente 3 de las 10 no cumplan el código.

x= número de edificios que no cumplen

N= 50

k=12

n=10

x=3

MEDIA Y VARIANZA DE LA DISTRIBUCIÓN HIPERGEOMÉTRICA

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EJEMPLO

DISTRIBUCIÓN BINOMIAL NEGATIVA

Este modelo de probabilidad tienen características similares al modelo binomial: los ensayos son independientes, cada ensayo tiene únicamente dos resultados posibles, y la probabilidad que cada ensayo tenga un resultado favorable es constante. Pero, en este modelo la variable aleatoria es diferente:

MEDIA Y VARIANZA

EJEMPLO 1

Suponiendo que la probabilidad de que una persona contraiga cierta enfermedad a la que está expuesta es el 30%, calcule la probabilidad que la décima persona expuesta a la enfermedad sea la cuarta en contraerla.

EJEMPLO 2 y 3

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EJEMPLO

DISTRIBUCIÓN GEOMÉTRICA

Es un caso especial de la distribución binomial negativa cuando k=1.

Se emplea cuando se quiere conocer la cantidad de ensayo hasta tener el primer éxito.

MEDIA Y VARIANZA DE LA DISTRIBUCIÓN GEOMÉTRICA

EJEMPLOS

Calcule la probabilidad que en el quinto lanzamiento de tres monedas se obtengan tres sellos por primera vez:

Una prueba de resistencia de soldadura consiste en poner a cargar hasta qie se de una ruptura. Para cierto tipo de soldadura el 80% de las rupturas ocurre en la propia soldadura, mentras que otro 20% se da en las vigas. Se prueba cierto número de soldadura. Sea x el número de pruebas, incluyendo la primera prueba que da como resultado la ruptura de la viga.

a) ¿ Cuál es la distribución de x?

b) ¿Cuál es la probabilidad de que sucede una ruptura en el tercer intento?

c) Determine la media y la varianza de la variable x

x= número de pruebas incluyendo la primera prueba que da como resultado la ruptura de la viga

Primera prueba x-Be(0.2) E

Segunda prueba x- g(0.2) FE, FFE, FFFE, .......

b) P(x=3) = P(FFE) = P(F) P(F) P(E)

= (0.8)(0.8)(0.2)

=0.128

c) E(x)= 1/0.2 =0.5

V(x)= 1/0.2(1/0.2 - 1) = 20

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EJEMPLO

Referencia: Luis Rodriguez. (2007). Probabilidad y estadística básica para ingenieros. Quito: ESPOL.

CLASE N° 8

FECHA: 18-01-2017

DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDAD DISCRETA

DISTRIBUCIÓN UNIFORME

Este modelo corresponde a una v. a. c cuyos valores tienen igual valor de probabilidad en un intervalo específico para la variable.

Definición

a, b son parámetros para esta distribución

X ̴ µ(a, b)

Esperanza: a+b/2

Varianza: (b-a)²/12

Función de distribución de probabilidad

Ejemplo:

DISTRIBUCIÓN NORMAL

La Distribución Normal es la piedra angular de la teoría estadística moderna. Conocida y estudiada desde hace mucho tiempo, es utilizada para describir el comportamiento aleatorio de muchos procesos que ocurren en la naturaleza y también realizados por los humanos.

La gráfica de f es similar al perfil del corte vertical de una campana y tiene las siguientes características:

1) Es simétrica alrededor de μ

2) Su asíntota es el eje horizontal

3) Sus puntos de inflexión están ubicados en μ – σ y μ + σ

DISTRIBUCIÓN NORMAL ESTÁNDAR

Para generalizar y facilitar el cálculo de probabilidad con la distribución Normal, es conveniente definir la Distribución Normal Estándar que se obtiene haciendo μ = 0, y σ2 = 1 en la función de densidad de la Distribución Normal

Los valores de la distribución normal estándar está dada en tablas debido a su dificultad de encontrarlas manualmente.

Ejemplo

Usando la tabla de la distribución normal estándar

ESTANDARIZACIÓN DE LA DISTRIBUCIÓN NORMAL

Si una variable tiene distribución Normal, mediante una sustitución se la puede transformar a otra variable con distribución Normal Estándar. Este cambio de variable facilita el cálculo de probabilidad y se denomina estandarización de la distribución de la variable.

Notación

EJEMPLO

La duración de un evento tiene la distribución normal con media 10. varianza 4. Encuentre la probabilidad de que el evento dure:

a) Menos de 9 horas

b)Entre 11 y 12

Referencia: Luis Rodriguez. (2007). Probabilidad y estadística básica para ingenieros. Quito: ESPOL.

CLASE N° 9

FECHA: 20-01-2017

Se rindió la Evaluación N° 1 del Segundo Bimestre

CLASE N° 10

FECHA: 25-01-2017

VALORES REFERENCIALES DE LA DISTRIBUCIÓN NORMAL

Hay ciertos valores de la distribución Normal de uso frecuente.

Si X es una variable aleatoria con distribución Normal, la probabilidad que tome valores en un intervalo centrado en μ, hasta una distancia de una desviación estándar σ es aproximadamente 68%, hasta una distancia de 2σ es aproximadamente 95% y hasta una distancia de 3σ es cercano a 100% como se demuestra a continuación:

APROXIMACIÓN DE LA DISTRIBUCIÓN BINOMIAL CON LA DISTRIBUCIÓN NORMAL ESTÁNDAR

Sea X una variable aleatoria discreta con distribución Binomial con media μ =np, y varianza

σ2 = np(1-p)

Entonces, el límite de la distribución de la variable aleatoria

Es la distribución Normal Estándar: N(0,1)

La demostración es una aplicación del Teorema del Límite Central, uno de los teoremas fundamentales de la estadística y que será enunciado posteriormente

La bibliografía estadística establece que la aproximación es aceptable aún con valores pequeños de n, siempre que p esté cerca de 0.5, o si simultáneamente:

Ejemplo

En una fábrica el 20% de los artículos salen defectuosos. Calcule la probabilidad que en un lote de 100 artículos elegidos al azar, 15 sean defectuosos.

Referencia: Luis Rodriguez. (2007). Probabilidad y estadística básica para ingenieros. Quito: ESPOL.

CLASE N° 11

FECHA: 27-01-2017

DISTRIBUCIÓN EXPONENCIAL

La distribución exponencial es una distribución continua que algunas veces se utiliza para modelar el tiempo que transcurre antes de que ocurra un evento. A menudo, a aquél se le llama tiempo de espera. En algunas ocasiones la distribución exponencial se utiliza para modelar el tiempo de vida de un componente. Asimismo, hay una relación cercana entre la distribución exponencial y la distribución de Poisson.

La función de densidad de probabilidad de la distribución exponencial tiene un parámetro, que representa una constante positiva λ cuyo valor determina la localización y forma de la función.

El gráfico presenta la función de densidad de probabilidad de la distribución exponencial para varios valores de λ. Si X es una variable aleatoria cuya distribución es exponencial con parámetro λ, se expresa como X Exp(λ).